Halaman
127Fungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan FungsiInversIIIBabTujuan PembelajaranSetelah mempelajari babini, diharapkan kalian dapat1. menentukan aturanfungsi dari komposisibeberapa fungsi;2. menjelaskan nilai fung-si komposisi terhadapkomponen pemben-tuknya;3. menyebutkan kom-ponen fungsi komposisijika aturan komposisi-nya diketahui;4. menjelaskan kondisiagar suatu fungsi mem-punyai invers;5. menentukan aturanfungsi invers dari suatufungsi;6. menggambarkan gra-fik fungsi invers darigrafik fungsi asalnya.MotivasiFungsi merupakan suatu relasi khusus yang memiliki suatuaturan tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak masalahyang dapat diselesaikan dengan fungsi. Misalnya, fungsi daripencampuran bahan-bahan untuk membangun gedung, jembatan,jalan, fungsi penawaran, fungsi permintaan, fungsi pemecah koderahasia, dan masih banyak lagi.Sumber:cd corel architectur4
128Khaz Matematika SMA 2 IPS• domain• fungsi• fungsi bijektif• fungsi identitas• fungsi injektif• fungsi invers• fungsi komposisi• fungsi surjektif• invers fungsi• kodomain• komposisi fungsi• korespondensi• peta• prapeta• rangeOperasi FungsimempelajarimembahasKomposisiFungsiFungsi Komposisi danFungsi InversPenjumlahanPenguranganPerkalianPembagianSifat-SifatFungsi KomposisimembahasSifat-SifatInvers FungsiFungsi InversInvers FungsiKomposisimembahasKata KunciPeta Konsep
129Fungsi Komposisi dan Fungsi InversTentu kalian telah mengenal fungsi, bukan? Bayangkanketika kalianmembeli bensin di pompa bensin. Misalkan setiapsatu liter bensin berharga Rp4.500,00. Kita dapat menaksirkankira-kira berapa rupiah yang harus kalian bayar apabila kalianmembeli bensin sebanyak 5,9 liter. Sebaliknya, apabila kalianmembeli bensin seharga Rp155.000,00, berapa liter bensin yangkalian dapatkan? Itu merupakan salah satu masalah sederhanadalam kehidupan sehari-hari yang terkait dengan fungsi.Pengertian fungsi, domain, kodomain, dan range telah kalianpelajari di SMP. Pada pembahasan kali ini, akan dipelajari lebihlanjut tentang fungsi, yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers.Sebelum kalian mempelajari lebih lanjut materi ini, cobajawab pertanyaan-pertanyaan berikut.A. Fungsi dan Sifat-SifatnyaDi kelas X, kalian telah mempelajari tentang fungsi secaradetail. Coba kalian ingat kembali. Kalian tentu juga masih ingatdengan domain, kodomain, dan range suatu fungsi.Gambar 3.1Setelah menjawab dengan benar soal-soal di atas, mari kitapelajari selengkapnya materi ini.PrasyaratKerjakan di bukutugas1.Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya.2.Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, danrange?3.Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukana.domain dan range fungsi itu;b.f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2).4.Suatu fungsi linear bernilai 9 ketika x = 2 dan bernilai 1ketika x = 0. Bagaimana rumus fungsi itu?1. Definisi FungsiMisalkan himpunan A = {–2, –1, 0, 1} dan B = {–3, 0, 3}.f menyatakan fungsi dari A ke B dengan aturan seperti diagrampanah di samping.Daerah asal atau domain dari f adalah A = {–2, –1, 0, 1}.Daerah kawan atau kodomain dari f adalah B = {–3, 0, 3}.Daerah hasil atau range dari f adalah {0, 3}.Fungsi atau pemetaan merupakan relasi khusus. Tidak semuarelasi merupakan fungsi. Definisi fungsi atau pemetaan diberikansebagai berikut.
130Khaz Matematika SMA 2 IPSFungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi darihimpunan A ke himpunan B dalam hal ini setiap xDAdipasangan dengan tepat satu yDB.Contoh:Tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut.a.f(x) = x + 1c.f(x) = 5542x<+xb.f(x) = x216<d.f(x) = |x – 3|Jawab:Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, sepertif, g, dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f : AAB.a.Untuk sembarang xbilangan real, f(x) =x + 1 akan bernilaireal atau terdefinisi.Jadi, domainnya ada-lah xDR atauDf = { x | xDR}.Hal ini akan lebihjelas jika divisual-isasikan dalam grafik.Dari grafik di atas,tampak bahwa range-nya juga semua xanggota himpunanbilangan real R.b.Fungsi f(x) = x216< akan terdefinisi jika bilangan didalam tanda akar tidak bernilai negatif.x2 – 16 * 0(x + 4)(x – 4) * 0x) –4 atau x * 4Dalam garis bilangantampak seperti Gambar3.3.Dengan demikian, do-main dari f adalah Df={x | x) –4 atau x* 4}.Gambar 3.3–44! " # Gambar 3.2
131Fungsi Komposisi dan Fungsi Inversc.Fungsi pecahan akanterdefinisi jika penye-butnya tidak samadengan nol. Oleh ka-rena itu, x2 – 5x + 4 & 0atau (x – 1)(x – 4) & 0Penyebab penyebut nolGambar 3.4 " ! " ! Gambar 3.5adalah x = 1 atau x = 4.Jadi, domainnya adalahDf = {x | x DR, x&1 atau x &4}.Dapat juga ditulis{x | x < 1 atau1 < x < 4 atau x > 4}.d.Fungsi f(x) = | x – 3 | sama artinya denganf(x) =x – 3; x* 33 – x; x < 3(Coba diingat lagi tentangharga mutlak yang sudahkalian pelajari di kelas X).Jika divisualisasikan dalamgrafik, tampak sepertigambar di samping.Dari grafik di sampingtampak bahwa domain fadalah semua xDR. Namun,rangenya hanya y anggotahimpunan bilangan realpositif.2. Jenis-Jenis FungsiBerikut ini adalah beberapa jenis fungsi yang berhubungandengan anggota-anggota domain dan anggota-anggota kodomain.a.Fungsi SurjektifSuatu fungsi dengan daerah hasil sama kodomainnya disebutdengan fungsi surjektif atau fungsi onto. Dengan kata lain, fungsisurjektif dapat didefinisikan sebagai berikut.(a)(b)Gambar 3.6{Fungsi f : AAB disebut fungsi surjektif jika dan hanya jikadaerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B.Sebagai contoh, perhatikan gambar di samping.1)Gambar 3.6 (a) merupakan fungsi surjektif karena setiapkodomain mempunyai pasangan atau Rf = B.2)Gambar 3.6 (b) bukan fungsi surjektif karena ada anggotakodomain, yaitu 3 yang tidak mempunyai pasangan.
132Khaz Matematika SMA 2 IPSb.Fungsi InjektifSebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbedamempunyai peta yang berbeda disebut dengan fungsi injektif.Fungsi injektif disebut juga dengan fungsi satu satu. Secaramatematis, fungsi injektif dapat didefinisikan sebagai berikut.Fungsi f : AAB disebut fungsi injektif jika dan hanya jikauntuk setiap a1, a2DA dan a1&a2 maka berlakuf(a1) &f(a2).Perhatikan Gambar 3.7 (a). Gambar tersebut menunjukkanfungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbedamempunyai peta yang berbeda pula. Namun, Gambar 3.7 (b)bukan merupakan fungsi injektif karena ada dua anggota domainfungsi f, yaitu –1 dan 1 yang mempunyai peta yang sama, yaitu 1.c.Fungsi BijektifMisalkan fungsi y = f(x), dengan A = {3, 4, 5} dan B = {a, b, c}dinyatakan dengan pasangan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}.Fungsi f dapat ditunjukkan sebagai diagram panah seperti padagambar di samping. Pada gambar tersebut tampak bahwa fungsif adalah fungsi surjektif karena range fungsi f sama dengankodomain fungsi f atau Rf = B. Di samping itu, fungsi f jugafungsi injektif, karena untuk setiap anggota domain yang berbedamempunyai peta yang berbeda. Fungsi yang surjektif sekaligusinjektif seperti ini disebut fungsi bijektif. Secara matematis, halini dapat dituliskan dalam definisi berikut.Fungsi f : AAB disebut fungsi bijektif jika dan hanya jikafungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif.Jika kita perhatikan kembali contoh di atas, setiap anggotadomain dari fungsi f dipasangkan dengan tepat satu anggotahimpunan kodomain, dan sebaliknya. Oleh karena itu, fungsibijektif disebut juga dengan korespondensi satu-satu.(a)(b)Gambar 3.7Gambar 3.8Contoh:Tentukan jenis fungsi berikut ini.a.Fungsi f : RAR (R adalah himpunan bilangan real) yangdidefinisikan dengan f(x) = 2x.b.Fungsi f : NAR (N adalah himpunan bilangan asli) yangdidefinisikan dengan g(x) = x2.c.Fungsi f : ZAN (Z adalah himpunan bilangan bulat)yang didefinisikan dengan f(x) = x2.ABBABA
133Fungsi Komposisi dan Fungsi InversJawab:a.Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapatsatu pasangan bilangan real, yaitu 2a.Demikian pula untuk setiap anggota kodomain mendapatpasangan bilangan real dari domain. Artinya, setiapbilangan real 2a (dalam kodomain), pasti akan ditemukanbilangan real a (dalam domain). Oleh karena itu, fungsitersebut sekaligus injektif dan surjektif sehingga bisadisebut fungsi bijektif.b.Setiap bilangan asli b anggota domain mempunyai petayang berbeda, yaitu bilangan real b2 sehingga fungsi fmerupakan fungsi injektif. Kemudian, kita dapat melihatbahwa kodomain fungsi f tidak sama dengan range fungsif. Misalnya, bilangan real 3 (anggota kodomain fkarena3 bukan bilangan asli. Oleh karena itu, fungsi ftidak surjektif.c.Untuk setiap bilangan bulat c, pasti mendapat pasangandalam kodomainnya, yaitu bilangan asli c2. Akan tetapi,bilangan bulat yang berbeda, yaitu c dan –c mendapatpasangan yang sama, yaitu c2 (tidak injektif). Selain itu,terdapat pula anggota kodomain yang tidak mendapatpasangan dari domain, misalnya bilangan 5 karena 5bukan bilangan bulat (tidak surjektif). Berarti fungsi ftersebut tidak injektif sekaligus tidak surjektif.Tugas: Investigasi• Kerjakan di buku tugasCarilah contoh fungsi injek-tif, surjektif, bijektif, dantidak injektif maupun sur-jektif masing-masing 2fungsi. Diskusikan hasilyang kamu peroleh denganteman-temanmu.Soal Kompetensi 1• Kerjakan di buku tugas1.Misalkan diketahui P = {–2, –1, 0, 1, 2,} dan Q = {0, 1, 2,5, 7}.Di antara relasi-relasi dari P ke Q berikut, manakah yangmerupakan fungsi?a.A= {(–2, 0), (–1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0)}b.B= {(–2, 1), (–1, 2), (0, 5), (1, 7), (–2, 2)}c.C= {(–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 5), (2, 7)}2.Tentukan domain dan range fungsi-fungsi berikut agarterdefinisi pada himpunan bilangan real.a.f(x) = 3x – 7b.f(x) = xc.f(x) = 1 – xd.f(x) = |x – 1|e.f(x) = 1 – |x –1|
134Khaz Matematika SMA 2 IPS3. Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.a.f(x) = x24<b.f(x) = x – |x|c.f(x) = 1<||xTentukan domain ketiga fungsi di atas agar terdefinisipada himpunan bilangan real.4. Di antara fungsi-fungsi berikut, manakah yangmerupakan fungsi injektif?a.f(x) = 10d.f(x) = x–1b.f(x) = xe.f(x) = xc.f(x) = x2f.f(x) = |x|5. Tentukan sifat fungsi-fungsi berikut ini.a.Fungsi f : RAR, didefinisikan dengan f(x) = 2x – 1.b.Fungsi g : RAR, didefinisikan dengan g(x) = 11<x.c.Fungsi h : ZAZ, didefinisikan dengan h(x) = |x|.d.Fungsi f : RAR, didefinisikan dengan f(x) = 0.6. Anita membeli kain di sebuah toko untuk dijual kembalidengan mengecer. Kain yang dibeli Anita adalah sebagaiberikut.a.100 meter kain I dengan harga per meternya 5.000rupiah.b.100 meter kain II dengan harga per meternya 15.000rupiah.c.100 meter kain III dengan harga per meternya 17.500rupiah.d.100 meter kain IV dengan harga per meternya 20.000rupiah.Setiap pembelian kain terkena pajak PPh sebesar 10%.a.Tentukan harga masing-masing kain tersebut setelahditambah dengan PPh 10%. Berapa harga kain yangharus dibayar seluruhnya?b.Buatlah diagram panah yang menunjukkan fungsi:•Jenis kain A harga kain•Jenis kain A harga yang harus dibayar Anitac.Bersifat apakah fungsi yang diperoleh?Injektif, surjektif, atau bijektif? Selidikilah.7. Persegi panjang mempunyai keliling 20 m. Nyatakan luaspersegi panjang tersebut sebagai fungsi panjang salah satusisinya.
135Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers8.Persegi panjang mempunyai luas 16 m2. Nyatakan kelilingpersegi panjang tersebut sebagai fungsi panjang salah satusisinya.9.Sebuah jendela berbentuk persegipanjang yang di atasnya berupasetengah lingkaran. Perhatikan gambardi samping.Jika keliling jendela tersebut adalah 30kaki, nyatakan luas jendela A sebagaifungsi lebar jendela x (dalam kaki).10. Di negara tertentu, pajak penghasilan dipungut sebagaiberikut. Apabila penghasilan seseorang tidak melebihi$10.000 maka bebas pajak. Apabila penghasilan berkisar$10.000 sampai dengan $20.000, dikenai pajak 10%,sedangkan pajak sebesar 15% dikenakan kepada yangberpenghasilan melebihi $20.000. Berapa besar pajak yangdipungut kepada seorang yang berpenghasilan $14.000?Berapa besar pajak bagi orang yang berpenghasilan$26.000?Operasi aljabar yang sudah kita kenal dalam operasi bilanganreal adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian. Operasi aljabar tersebut dapat diterapkan dalamfungsi.Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x). Jika Df domainfungsi f dan Dg domain fungsi g, sedangkan DfEDg&q makadapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebutsebagai berikut.1.(f + g)(x) = f(x) + g(x)2.(f – g)(x) = f(x) – g(x)3.(f×g)(x) = f(x) ×g(x)4.fgxfxgx£¤²¥¦ ́=()()(), g(x) & 0xB. Operasi Aljabar pada FungsiContoh 1:Diketahui f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 2(x – 1). Tentukana.(f + g)(x);c.(f×g)(x);b.(f – g)(x);d.fgx£¤²¥¦ ́().
136Khaz Matematika SMA 2 IPSJawab:Diketahui bahwa f(x) = 3x + 4 dan g(x) = 2(x – 1)g(x) =2x – 2.a.(f + g)(x)=f(x) + g(x)=(3x + 4) + (2x – 2)=5x + 2b.(f – g)(x)=f(x) – g(x)=(3x + 4) – (2x – 2)=3x + 4 – 2x + 2=x + 6c.(f× g)(x)=f(x) ×g(x)=(3x + 4) × (2x – 2)=3x(2x) + 3x(–2) + 4(2x)+ 4(–2)=6x2 + 2x – 8d.fg£¤²¥¦ ́(x)=fxgxxx()()=+<3422, x& 1Misalkan N adalah him-punan semua bilangan bulatpositif. f : NAN adalahsuatu fungsi sehingga f(x + 1)= f(x) + x, untuk xDN danf(1) = 5. Tentukan f(2.005).Soal SEAMO III Penang)TantanganPenalaran• Kerjakan di buku tugasContoh 2:Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. Tentukang(x).Jawab:(f + g)(x)=f(x) + g(x)x2 + 5 = (x2 + 3x – 1) + g(x)g(x)=(x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)g(x)=x2 + 5 – x2 – 3x + 1g(x)=–3x + 6Soal Kompetensi 2• Kerjakan di buku tugas1.Diketahui f(x) = 5x2 + 2x + 1 dan g(x) = 3(x + 2) + 1.Tentukan rumus fungsi berikut.a.f + gd.fgb.f – ge.gfc.f×g2.Diketahui f : RAR dan g : RAR dengan f(x) = x2 + 3dan g(x) = x – 5. Tentukana.rumus f + g, f